Глава 2. Производная и дифференциал функции

§ 2.1. Понятие производной функции

Приращение аргумента и приращение функции

Пусть дана функция y = f (x), определенная на некотором интервале, например, представленная на рис. 2.1. Рассмотрим два значения аргумента x₀ и x₁ = x₀ + Δx, где Δx - произвольно задаваемое число, положительное или отрицательное, которое называется приращением аргумента.

Определение. Приращением функции Δy называется изменение функции, соответствующее приращению аргумента Δx:

Например, найдем приращение функции y = x² в точке x₀, соответствующее приращению аргумента Δx:

Определение производной функции. Производной функции y = f (x) в некоторой точке x называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует:

Здесь y'(x) - обозначение производной функции в точке x (можно также писать f '(x)), Δy - приращение функции, соответствующее приращению аргумента Δx (производная y'(x) читается как «игрек штрих от икс»).

Рис. 2.1. Приращение аргумента Δx и приращение функции Δy

Если производная функции y = f (x) существует в точке x, функция называется дифференцируемой в точке x. Если производная функции y = f (x) существует во всех точках некоторого промежутка (например, интервала), функция называется дифференцируемой на данном промежутке. В этом случае производная у'(x) также является некоторой функцией аргумента x.

В качестве примера найдем производную функции у = x² в произвольной точке x, пользуясь определением (2.1) и найденным приращением этой функции:

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием. Продифференцировать функцию означает найти ее производную.