Глава 15. Временные ряды

§ 15.1. Понятие временного ряда

Временным рядом называют ряд значений некоторой величины X, полученных измерениями в последовательные равноотстоящие моменты или промежутки времени (табл. 15.1), где t₁, t₂, t_n - равноотстоящие моменты времени, x_t1, x_t2 ,..., x_tn - значения величины X, измеренные в эти моменты или соответствующие промежутки времени.

Таблица 15.1. Временной ряд для величины X

Например, временным рядом является число упаковок некоторого лекарственного препарата, проданных аптекой за день, записанное для нескольких дней подряд. Временным рядом будет также число вызовов врача на дом в некоторой поликлинике по дням и т. д. В этих примерах величина измеряется за равные последовательные промежутки времени.

В рассмотренном определении временного ряда измерения величины проводят в отдельные моменты или интервалы времени. Такие временные ряды называют дискретными.

Иногда встречаются непрерывные временные ряды, в которых некоторая величина измеряется и регистрируется в любой момент времени в определенном интервале. Примером непрерывного временного ряда может служить электрокардиограмма. Далее мы ограничимся рассмотрением только дискретных временных рядов.

Измеряемая величина X во временном ряду часто является случайной величиной, т. е. нельзя предсказать заранее, какое значение мы получим при измерении. Однако эта случайная величина может содержать и некоторую закономерно изменяющуюся часть, называемую детерминированной. В этом случае значение случайной величины можно представить в виде

где x_t - значение величины в момент времени t; x_t - детерминированная часть; ε_t - случайная часть.

Во временном ряду последовательные моменты времени t₁, t₂, ....,t_n часто обозначают просто номерами 1, 2, п. При этом временной ряд, представленный в табл. 15.1, имеет следующий вид (табл. 15.2).

Таблица 15.2. Другое представление временного ряда

Временной ряд называется стационарным при выполнении следующих двух условий

• функция распределения случайной величины не зависит от времени;

•M{[(x_i - M(x_i)][x_i+k - M(x_i+k)]} не зависит от разности моментов времени k.

Характеристиками стационарного временного ряда являются математическое ожидание μ, дисперсия σ² и среднее квадратическое отклонение а.

Оценкой математического ожидания μ является среднее значение измеряемой величины

Оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсиям

а оценкой среднего квадратического отклонения - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое по формуле