4.1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения
Математические уравнения, описывающие различные медико-биологические процессы, обычно включают не только неизвестные функции, но и их производные: скорости, ускорения и т. п. Именно поэтому для нахождения функциональной зависимости между зависимыми и независимыми переменными необходимо уметь составлять и решать уравнения, содержащие неизвестную функцию, независимую переменную и производные от неизвестной функции. Такими уравнениями описываются биохимические процессы, происходящие в организме, процессы размножения и гибели бактерий, распространение импульсов в нервных и мышечных волокнах и т. д.
Определение
Равенство, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y = f(x), а также ее производные y, y", ... ,y(n), называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
В обыкновенных дифференциальных уравнениях неизвестной является функция одного переменного. Общий вид уравнения:
F(x, y', y", ...) = 0, (4.1)
где F - известная функция, заданная в некоторой фиксированной области; x - независимая переменная; y - зависимая переменная (то есть зависимая от x) и подлежащая определению; y', y", y(n) - ее производные.
Порядок дифференциального уравнения определяется наибольшим порядком производной, входящей в уравнение.
Например, 2y' + 5y + 3x = 0 - уравнение I порядка, y" + 3xy' + xy = 0 - уравнение II порядка.
Определение
Решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение (4.1), обращает его в тождество, то есть левая и правая части этого уравнения должны быть равны. График этой функции называется интегральной кривой.
Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Это связано с тем, что в процессе интегрирования вводятся постоянные интегрирования: C - для уравнения I порядка, С1 и С2 - для уравнения II порядка и т. д. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка будет иметь вид: