Глава 6. Ряды

6.1. числовые ряды

Пусть дана бесконечная последовательность {a_n}:

а₁, а₂, а₃, ... , а_n, ...

Определение

Сумма чисел последовательности

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... (6.1)

называется числовым рядом, элементы ряда а₁, а₂, а₃, ..., а_п, ... называются членами ряда, а элемент а_п - общим членом ряда.

Сокращенно ряд обозначается следующим образом:

Определение

Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается:

Определение

Суммой числового ряда называется предел последовательности частичных сумм, если этот предел существует:

Если

существует, то ряд называется сходящимся, если же предел не существует или бесконечен - расходящимся.

Пример 6.1. Исследовать на сходимость ряда:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... Решение. Найдем частичные суммы ряда

S₁ = 1, S₂ = 0, S₃ = 1, S₄ = 0, ...

Тогда

Следовательно, ряд расходится. ◄

Пример 6.2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда представим как:

Тогда

Предел существует, и ряд сходится. ◄

6.2. Cходимость и расходимость числовых рядов

Остаток ряда после m-го члена или остаток m - это ряд, полученный из ряда (6.1) путем отбрасывания конечного числа первых m членов.

а_m+1 , + а_m+2 + ... + а_m+k, + ...(6.2)

Теорема 6.1

Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное утверждение: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится.

Или можно проще сформулировать эту теорему: рядсходится

или расходится одновременно с любым своим m-м остатком. Итак, если сходится ряд

(6.3)

то сходится ряд

(6.4)

И обратно: если сходится ряд (6.4), то сходится и ряд (6.3).

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Теорема 6.2

Пусть ряд

сходится и его сумма равна S. Тогда ряд

где c - произвольное число, также сходится, причем его сумма равна cS.

Теорема 6.3

Пусть ряды

сходятся и их суммы соответственно равны S₁ и S₂. Тогда ряд

также сходится, причем его сумма равна S₁ ± S₂.

Теорема 6.4 (необходимый признак сходимости ряда)

Если рядсходится, то общий член ряда a_n стремится к нулю при неограниченном возрастании n (при n →∞).