Глава 3. Интегральное исчисление

3.1. Первообразная функции и необределенный интервал

Понятие интеграла связано с обратной задачей дифференцирования функций, то есть нахождением функции F(x) по ее заданной производной или дифференциалу f(x)dx. Искомая функция F(x) называется первообразной для заданной функции f(x).

Определение

Первообразной для заданной функции fx) называется функция F(x), имеющая своей производной функцию fx) или fx)dx своим дифференциалом.

Известно, что производная постоянной величины равна нулю, поэтому функции fx) будет соответствовать множество первообразных функций F(x), отличающихся друг от друга постоянной величиной. Совокупность таких функций называется неопределенным интегралом для функции f(x).

Определение

Совокупность всех функций F(x) + C, первообразных для данного дифференциала f(x)dx, называется неопределенным интегралом и обозначается

∫f (x )dx = F (x) + C,

где fx)dx - подынтегральное выражение, а fx) - подынтегральная функция. (Читается: «интеграл эф от икс де икс».)

Рис. 3.1. Кривые, отличающиеся друг от друга смещением по оси у

Вычисление интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределенного интеграла - это семейство кривых, соответствующих возможным значениям C (рис. 3.1).

3.2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

[∫f(x)dx ]'= f (x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d∫f(x)dx= f (x)dx.

3. Интеграл от дифференциала первообразной равен сумме самой первообразной и дополнительного слагаемого C:

∫dF(x)dx= F(x)+C.

4. Интеграл алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них:

∫(f₁(x)+f₂(x)+...+f_n(x))dx= =∫f₁(x)dx+∫f₂(x)dx+...+∫f_n(x)dx.