Глава 9. Основы теории вероятностей

9.1. основные понятия комбинаторики

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке.

Определение

Перестановкой из n элементов называется каждая последовательность этих элементов в каком-либо порядке.

Поскольку каждая перестановка содержит все n элементов, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P которое равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

P_n = 1 • 2 • 3 • • • n = n!

(читается «эн факториал»).

Например, все возможные перестановки букв а, b, с: а, b, с; а, с, b; b, а, с; b, с, а; с, а, b; с, b, а. Всего 6 перестановок, что соответствует:

P₃ = 1 • 2 • 3 = 6.

Пример 9.1. Сколько имеется вариантов расстановки 5 книг на одной полке?

Решение. Искомое число вариантов равно:

P₅ = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. ◄

При нахождении факториалов следует помнить, что 0! = 1! = 1.

Иногда задача заключается в упорядочении не всех n объектов, а лишь некоторой последовательности из k объектов. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из n элементов по k элементов.

Определение

Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие последовательности, каждая из которых содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k обозначается (читается «А из n по k») и вычисляется по формуле:

Например, из трех букв а, b, с можно составить три размещения по одной букве, шесть размещений по две буквы: а, b; а, с; b, a; b, с; с, а; с, b; и шесть размещений по три буквы: a, b, c; а, с, b; b, а, с; b, с, а; с, а, b; с, b, а. Проверим по формуле:

Пример 9.2. В конкурсе медсестер участвуют 12 человек. Имеется три призовых места (1, 2, 3 место). Сколько вариантов распределения трех призовых мест существует?

Решение. В данной задаче надо осуществить выбор трех участников конкурса и распределение мест среди них. Следовательно, необходимо найти размещение из 12 элементов по 3.

Иногда возникает необходимость не учитывать порядок следования элементов в размещении. Такие последовательности называются сочетанием.

Определение

Сочетанием из n элементов по k называются любые последовательности из k элементов, входящих в число данных n элементов, и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.