5. Математические модели в задачах персонализированной цифровой нутрициологии

5.1. Интерполяция параметров внутри класса

В разделе 2 были введены укрупненные классы биометрических параметров пользователя. Однако при разработке персонифицированных рекомендаций такая сетка оказывается слишком грубой. Пользователи отличаются один от другого также и в пределах одного класса, в котором, например, уравнены люди возрастов от 18 до 29 лет с массами от 45 до 50 кг. Именно поэтому необходимо создать алгоритм, распределяющий рекомендации [2] на более мелкий масштаб: по возрастам с шагом в 1 год, по массе тела — с шагом в 1 кг. Из оценки точности статистики по формуле (2.1.1) следует, что создание такого алгоритма не может опираться на эмпирические данные, поскольку данных с нужной точностью просто не существует (по крайней мере в России): для этого потребовалось бы несколько миллиардов респондентов. Тогда предлагается следующая модель интерполяции данных , приведенных в табл. 5 и 6.

Обозначим a_j значения возрастов в узлах исходной укрупненной сетки и m_j — значения масс тел (верхние индексы F, M для краткости опущены).

Рассмотрим для каждого j функцию e_j(m), заданную в узлах m_i на отрезке [m₁, m₉] равенствами:

e_j(m_i) = E_ij. (5.1.1)

Продолжим эту функцию по кусочно-линейной интерполяции в остальные точки отрезка [m₁, m₉] и вычислим ее среднее значение:

. (5.1.2)

Для каждого из четырех значений j можно найти такое значение аргумента функции e_j(m), для которого .
Это значение всегда существует в силу известной теоремы математического анализа о среднем значении определенного интеграла, поскольку e_j(m) — непрерывная монотонно возрастающая функция:

. (5.1.3)

Вычисляя эти значения для табл. 5 и 6, выясняем, что они не зависят от j и приближенно равны = 60 кг для женщин и = 70 кг для мужчин. Это есть критическое свойство матриц величины основного обмена (ВОО), позволяющее построить модель пересчета рекомендуемых величин E_k потребления k-го нутриента с узлов крупной сетки на мелкий масштаб по закону сохранения площадей.

Пусть заданы масса m и возраст a пользователя. Найдем номера 1 ≤ i ≤ 9, 1 ≤ j ≤ 4, такие, что , . Рассмотрим прямоугольник ABCD, вершины которого являются узлами крупной сетки, как показано на рис. 5.

Рис. 5. Преобразование ячейки параметров

Точка (a, m) лежит в прямоугольнике ABCD. Проходящие через эту точку вертикальная и горизонтальная прямые, параллельные соответствующим сторонам прямоугольника, делят его на четыре прямоугольника, площади которых обозначены S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S=S₁+S₂+S₃+S₄. Тогда норма E физиологической потребности в точке (a, m) равна:

E(y, m)=E(A)×S₃/S+E(B)×S₂/S+E(C)×S₄/S+E(D)×S₁/S, (5.1.4)

а значения норм физиологических потребностей в узлах сетки (E(A) и т.д.) известны. Учет группы физической активности дается умножением на соответствующий коэффициент. Тем самым значения норм физиологических потребностей полностью вычисляются на сетке более мелкого масштаба.